18072. Точка E
лежит на стороне CD
прямоугольника ABCD
, причём 2DE=EC
. Отрезки BD
и AE
пересекаются в точке F
. Известно, что \angle DFA=45^{\circ}
. Найдите отношение \frac{AD}{AB}
.
Ответ. \frac{\sqrt{7}-2}{3}
.
Указание. Опишите окружность около треугольника ADF
.
Решение. Положим AD=4
. Пусть G
— проекция точки F
на сторону AD
, O
— центр описанной окружности треугольника ADF
, H
— проекция точки O
на прямую FG
.
Треугольники ABF
и EDF
подобны с коэффициентом \frac{AB}{ED}=3
, поэтому AG=\frac{3}{4}AD=3
. Центральный угол ADO
описанной окружности треугольника ADF
вдвое больше вписанного угла AFD
, т. е.
\angle AOD=2\angle DFA=90^{\circ}~\Rightarrow~OF=OA=OD=2\sqrt{2}.
Пусть M
— проекция точки O
на AD
. Тогда OM
— медиана прямоугольного треугольника AOD
, поэтому
OM=\frac{1}{2}AD=2~\Rightarrow~OH=MG=AG-AM=3-2=1.
Из прямоугольного треугольника FOH
получаем
FH=\sqrt{OF^{2}-OH^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}-1^{2}}=\sqrt{7}~\Rightarrow~GF=GH+HF=2+\sqrt{7}.
Следовательно, из подобия треугольников DGF
и DAB
находим, что
\frac{AD}{AB}=\frac{DG}{GF}=\frac{1}{2+\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}-2}{3}.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2024, задача 57