18073. Точка P
лежит внутри квадрата ABCD
. Вершина U
квадрата BPUY
лежит на прямой AD
, причём \angle DPU=\angle BAY
. Найдите \angle BPC
.
Ответ. 112{,}5^{\circ}
.
Решение. Пусть P_{1}
, P_{2}
, P_{3}
и P_{4}
— проекции точки P
на стороны соответственно AB
, BC
, CD
и DA
квадрата ABCD
, а Z
и T
— проекции точки Y
на прямую AD
и BC
соответственно. Обозначим \angle UPP_{4}=\alpha
. Тогда прямоугольные треугольники UP_{4}P
, YZU
, BTY
и PP_{2}B
равны по гипотенузе (сторона квадрата BPUY
) и острому углу (углы при вершинах P
, U
, Y
и B
равны \alpha
).
Заметим, что поскольку TP_{2}=TZ=AB=BC
, то
P_{4}D=P_{2}C=BT=P_{4}U,
поэтому прямоугольные треугольники DP_{4}P
и UP_{4}P
равны по двум катетам. Тогда
\angle DPP_{4}=\angle UPP_{4}=\alpha~\Rightarrow~\angle BAY=\angle DPU=2\alpha,
а так как AZ=BT=ZY
, то AZYX
— квадрат (аналогично, CP_{3}PP_{3}
— квадрат, равный квадрату AZYX
). Значит,
\angle BAY=2\alpha=45^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=22{,}5^{\circ}.
Следовательно,
\angle BPC=\angle CPP_{2}+\angle BPP_{2}=2\alpha+(90^{\circ}-\alpha)=45^{\circ}(90^{\circ}-22{,}5^{\circ})=112{,}5^{\circ}.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2024, задача 49