18074. Точка D
лежит на стороне AB
треугольника ABC
, причём \angle ACD=11{,}3^{\circ}
и \angle DCB=33{,}9^{\circ}
. Известно также, что \angle CBA=97{,}4^{\circ}
. Точка E
лежит на стороне AC
, причём EC=BC
. Найдите \angle AED
.
Ответ. 41{,}3^{\circ}
.
Указание. Введите обозначения \alpha=11{,}3^{\circ}
и \beta=97{,}4^{\circ}
и докажите, что \angle ECF=60^{\circ}
.
Решение. Пусть \alpha=11{,}3^{\circ}
и \beta=97{,}4^{\circ}
. Тогда \angle DCB=3\alpha
.
Пусть F
— отличная от B
точка, лежащая на прямой AB
, и для которой CB=CF
. Тогда
\angle BCF=180^{\circ}-2\angle CBF=180^{\circ}-2(180^{\circ}-\beta)=180^{\circ}-2\beta
поэтому
\angle ECF=\angle ECD+\angle DCB+\angle BCF=\alpha+3\alpha+(180^{\circ}-2\beta)=
=4\alpha+2\beta-180^{\circ}=4\cdot11{,}3^{\circ}+2\cdot97{,}4-180^{\circ}=60^{\circ}.
Поскольку
\angle DCF=60^{\circ}-\alpha~\mbox{и}~\angle CFD=180^{\circ}-\beta,
а CBF
— внешний угол треугольника BCD
, то
\angle FDC=\angle CBF-\angle DCB=(180^{\circ}-\beta)-3\alpha=
=180^{\circ}-97{,}4^{\circ}-3\cdot11{,}3^{\circ}=48{,}7^{\circ}=60^{\circ}-\alpha.
Значит, треугольник CDF
равнобедренный, FC=FD
. Следовательно, FC=FE=FD
.
Таким образом, точки C
, E
и D
лежат на окружности с центром F
. Вписанный в эту окружность угол CDE
вдвое меньше соответствующего центрального угла CFE
, т. е.
\angle CDE=\frac{1}{2}\angle CFE=\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=30^{\circ}.
Следовательно, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle AED=\angle CDE+\angle ECD=30^{\circ}+\alpha=30^{\circ}+11{,}3^{\circ}=41{,}3^{\circ}.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2024, задача 61