18076. Семиугольник ABCDEFG
разбит на шесть многоугольников с общей вершиной S
(см. рис.): три из них — равносторонние треугольники, два — прямоугольные равнобедренные треугольники ABS
, CDS
и FGC
с прямыми углами при вершинах C
и G
соответственно, а также квадрат DEFS
. Найдите градусную меру угла SAE
.
Ответ. 15^{\circ}
.
Решение. Треугольник FGS
равносторонний, поэтому FS=SG
, а так как DEFS
— квадрат, то FE=FS=SG=GA
. Значит, равнобедренные прямоугольные треугольники GAS
и FSE
равны по двум катетам. Тогда ES=AS
, т. е. треугольник EAS
равнобедренный. Тогда
\angle ESA=\angle ESF+\angle FSG+\angle GSA=45^{\circ}+60^{\circ}+45^{\circ}=150^{\circ}.
Следовательно,
\angle SAE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ESA)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-150^{\circ})=15^{\circ}.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2025 задача 6, с. 3