18078. Точка P
лежит внутри четырёхугольника ABCD
, а точки F
, G
, H
и E
на сторонах AB
, BC
, CD
и DA
соответственно, причём \frac{AF}{FB}=\frac{CG}{GB}=\frac{CH}{HD}=\frac{AE}{ED}=2
, а площади четырёхугольников PFAE
, PEDH
и PGCH
равны 90, 57 и 108 соответственно. Найдите площадь четырёхугольника PFBG
.
Ответ. 42.
Решение. Отметим середины J
, K
, L
и I
отрезков AF
, CG
, CH
и AE
соответственно. Обозначим площади треугольников EPI
, FPJ
, GPK
и HPL
через a
, b
, c
и d
соответственно. Тогда
2a+2b=S_{\triangle APE}+S_{\triangle APF}=S_{PFAE}=90,
a+d=S_{\triangle DPE}+S_{\triangle DPH}=S_{PEDH}=57,
2c+2d=S_{\triangle GPC}+S_{\triangle HPC}=S_{PGCH}=108.
Следовательно,
S_{PFBG}=S_{\triangle BPF}+S_{\triangle BPG}=b+c=\frac{1}{2}(2a+2b+2c+2d)-(a+d)=
=\frac{1}{2}(90+108)-57=42.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2025 задача 34, с. 11