18079. Точка M
— середина стороны AB
правильного семиугольника ABCDEFG
. Окружность с центром M
, проходящая через точку A
, пересекает описанную окружность треугольника AME
в точке X
, лежащей внутри семиугольника. Найдите угол между касательными к этим окружностям в точке X
.
Ответ. \frac{540^{\circ}}{7}
.
Указание. Угол между касательными к окружностям в точке X
равен угол между касательными к этим окружностям в точке A
.
Решение. Поскольку правильный семиугольник симметричен относительно прямой EM
, угол AME
прямой, поэтому AE
— диаметр описанной окружности треугольника AME
. Кроме того, равные хорды ED
, DC
и CE
описанной окружности правильного семиугольника отсекают равные дуги, поэтому градусная мера дуги BCDE
этой окружности втрое больше угла между радиусами этой окружности, проведёнными в соседние вершины семиугольника, т. е. равна 3\cdot\frac{360^{\circ}}{7}
. Следовательно, градусная мера вписанного в эту окружность угла BAE
равна \frac{3}{2}\cdot\frac{360^{\circ}}{7}=\frac{540^{\circ}}{7}
.
Заметим, что угол между касательными к окружностям в точке X
равен угол между касательными к этим окружностям в точке A
— второй точке пересечения окружностей. В свою очередь, этот угол равен углу между диаметрами окружностей, проведёнными через точку A
, т. е. углу BAD
между прямыми AB
и AE
. Следовательно, искомый угол равен углу BAE
, равному \frac{540^{\circ}}{7}
.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2025 задача 44, с. 15