1808. На боковых сторонах AB
и AC
равнобедренного треугольника ABC
расположены точки N
и M
соответственно, причём AN=NM=MB=BC
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. \frac{180^{\circ}}{7}
, \frac{540^{\circ}}{7}
, \frac{540^{\circ}}{7}
.
Указание. Примените теорему о внешнем угле треугольника.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Из равнобедренного треугольника ANM
находим, что \angle AMN=\angle BAC=\alpha
. Поскольку BNM
— внешний угол треугольника ANM
, то
\angle BNM=\angle AMN+\angle BAC=2\alpha.
Тогда \angle MBN=\angle BNM=2\alpha
, а так как BMC
— внешний угол треугольника AMB
, то
\angle BMC=\angle BAC+\angle MBN=\alpha+2\alpha=3\alpha.
Значит,
\angle ABC=\angle ACB=\angle BMC=3\alpha.
По теореме о сумме углов треугольника
3\alpha+3\alpha+\alpha=180^{\circ}.
Откуда \alpha=\frac{180^{\circ}}{7}
.