18080. Угол при вершине A
треугольника ABC
равен 30^{\circ}
. На стороне AC
отмечена её внутренняя точка D
, причём AD=BC
и BD=CD
. Найдите градусную меру угла DBA
.
Ответ. 3o^{\circ}
или 110^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABD
. Тогда
\angle DOB=2\angle BAD=2\cdot30^{\circ}=60^{\circ}.
Значит, равнобедренный треугольник BDO
— равносторонний, поэтому
AO=DO=BD=CD,
а так как AD=BC
, то треугольники AOD
и CDB
равны по трём сторонам.
Обозначим \angle ACB=\gamma
. Тогда
\angle CBD=\angle DAO=\angle ADO=\gamma.
Рассмотрим случаи расположения точки O
относительно угла BAC
.
1. Пусть точка O
лежит вне угла BAC
ближе лучу AB
, чем к AC
(рис. 1). В этом случае
180^{\circ}=\angle ADO+\angle ODB+\angle BDC=\gamma+60^{\circ}+(180^{\circ}-2\gamma)=240^{\circ}-\gamma,
откуда \gamma=30^{\circ}
. Следовательно, \angle DBA=30^{\circ}
.
2. Пусть точка O
лежит вне угла BAC
ближе лучу AC
, чем к AB
(рис. 2). В этом случае из равенства треугольников AOD
и BCD
получаем
\angle DAO=\angle BCD=\gamma~\Rightarrow~\angle OBA=\angle BAO=30^{\circ}+\gamma,
поэтому
\angle CBA=\angle OBA+\angle DBO+\angle CBD=(30^{\circ}+\gamma)+60^{\circ}+\gamma=90^{\circ}+2\gamma.
Значит,
180^{\circ}=\angle BAC+\angle CBA+\angle ACB=30^{\circ}+(90^{\circ}+2\gamma)+\gamma=120^{\circ}+3\gamma,
откуда \gamma=20^{\circ}
. Следовательно,
\angle DBA=60^{\circ}+(30^{\circ}+\gamma)=90^{\circ}+\gamma90^{\circ}+20^{\circ}=110^{\circ}.
3. Случай, когда точка O
лежит внутри угла BAC
невозможен, так как тогда
\angle ODA=\angle OAD\lt\angle BAD=30^{\circ}~\Rightarrow~\angle DOA\gt120^{\circ},
а так как \angle ADB\gt60^{\circ}
, то
\angle BDC=180^{\circ}-\angle ADB\lt180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ},
поэтому треугольники AOD
и BDC
не могут быть равными.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2025 задача 51, с. 18