18081. Точка S
лежит внутри квадрата ABCD
. При гомотетии с центром S
и коэффициентом k\gt1
этот квадрат переходит в квадрат A'B'C'D'
. Докажите, что сумма площадей четырёхугольников A'ABB'
и C'CDD'
равна сумме площадей четырёхугольников B'BCC'
и D'DAA'
.
Решение. Обозначим AB=p
и A'B'=q
. Тогда Q=kp
. Заметим, что четырёхугольник A'ABB'
— трапеция, поэтому S_{A'ABB'}=\frac{1}{2}(p+q)h_{1}
, где h_{1}
— высота трапеции A'ABB'
, т. е. расстояние между параллельными прямыми AB
и A'B'
. Аналогично,
S_{C'CBB'}=\frac{1}{2}(p+q)h_{2},~S_{C'CDD'}=\frac{1}{2}(p+q)h_{3},~S_{D'DAA'}=\frac{1}{2}(p+q)h_{4},
где h_{2}
, h_{3}
и h_{4}
— высоты трапеций C'CDD'
, B'BCC'
и D'DAA'
соответственно. Следовательно,
S_{A'ABB'}+S_{C'CDD'}=\frac{1}{2}(p+q)(h_{1}+h_{3}),~S_{C'CBB'}+S_{D'DAA'}=\frac{1}{2}(p+q)(h_{2}+h_{4}),
а так как
h_{1}+h_{3}=A'D'-AD=A'B'-AB=h_{2}+h_{4},
то
S_{A'ABB'}+S_{C'CDD'}=S_{C'CBB'}+S_{D'DAA'}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2008, второй раунд, задача 1, с. 6