18083. На серединном перпендикуляре к стороне AB
произвольного треугольника ABC
отмечена точка P
, лежащая внутри треугольника ABC
. Вне треугольника отмечены точки Q
и R
, для которых треугольники BPA
, BQC
и CRA
подобны. Докажите, что точки P
, Q
, C
и R
— вершины параллелограмма.
Указание. Треугольники PBQ
и APR
равны по трём сторонам.
Решение. Поскольку PA=PB
, треугольники BPA
, BQC
и CRA
равнобедренные с основаниями AB
, BC
и CA
соответственно, поэтому BQ=QC
и CR=RA
.
Треугольники BPA
и BQC
подобны, поэтому \frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{CB}
. Тогда \frac{PB}{BQ}=\frac{AB}{CB}
, а так как точка P
лежит внутри треугольника ABC
, то
\angle QBP=\angle QBC+\angle CBP=\angle PBA+\angle CBP=\angle CBA,
поэтому треугольники ABC
и APR
подобны. Значит, стороны треугольника ABC
равны соответствующим сторонам треугольника PBQ
, умноженным на одно и то же число k
— коэффициент подобия треугольников ABC
и APR
. При этом PA=PB
, поэтому k=\frac{AB}{PA}=\frac{AB}{PB}
. Значит, треугольники PBQ
и APR
равны по трём сторонам. Тогда QP=RA=CR
. Аналогично докажем, что PR=BQ=QR
.
Противоположные стороны четырёхугольника PQCR
попарно равны. Следовательно, PQCR
— параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2009, финальный раунд, задача 4, с. 12