18085. Дан остроугольный треугольник ABC
с углом 45^{\circ}
при вершине A
. Точка P
лежит на высоте CD
треугольника ABC
. Докажите, что AP\perp BC
тогда и только тогда, когда AP=BC
.
Решение. Заметим, что треугольник ADC
прямоугольный и равнобедренный, AD=CD
. Пусть луч AP
пересекает сторону BC
в точке E
.
Необходимость. Если AP\perp BC
, то AE
— высота треугольника ABC
. Тогда
\angle APD=\angle EPC=90^{\circ}-\angle PCE=90^{\circ}-\angle DCB=\angle CBD,
а так как \angle ADP=90^{\circ}=\angle CDB
, то прямоугольные треугольники ADP
и CDB
равны по катету (AD=CD
) и противолежащему острому углу. Следовательно, AP=BC
. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть AP=BC
. Тогда прямоугольные треугольники ADP
и CDB
равны по гипотенузе и острому углу (\angle DAP=\angle DCB
). Значит, \angle APD=\angle CBD
. Тогда
\angle CEA=\angle CEP=180^{\circ}-\angle EPC-\angle PCE=180^{\circ}-\angle APD-\angle DCB=
=180^{\circ}-\angle CBD-\angle DCB=\angle BCD=90^{\circ}.
Следовательно, AP\perp BC
. Достаточность доказана.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2010, отбор на Международную олимпиаду, задача 1, с. 25