18088. На отрезке AB=10
отмечена точка C
, причём AC=6
и CB=4
. Точки X
и Y
лежат по одну сторону от прямой AB
, причём YB=YC=3
, XA=8
и XC=6
. Найдите XY
.
Ответ. \sqrt{21}
Решение. Пусть M
— середина отрезка AX
. Тогда AM=MX=4
и AC=CX=6
. Медиана CM
равнобедренного треугольника ACX
является его высотой, поэтому
\angle CMA=\angle CMX=90^{\circ}.
Аналогично,
\angle CDY=\angle BDY=90^{\circ}.
Прямоугольные треугольники AMC
и CDY
подобны, так как
\frac{CD}{AM}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{CY}{AC}.
Тогда
\angle ACM=\angle CYD~\Rightarrow~\angle ACM+\angle DCY=\angle CYD+\angle DCY=90^{\circ}.
Значит,
\angle MCY=180^{\circ}-\angle ACM-\angle DCY=90^{\circ}.
Опустим перпендикуляр YF
на прямую AX
. Тогда MCYF
— прямоугольник. По теореме Пифагора
MC^{2}=XC^{2}-MX^{2}=6^{2}-4^{2}=20.
Кроме того,
XF=MX-MF=MX-CY=4-3=1~\mbox{и}~FY=MC.
Значит,
XY^{2}=FY^{2}+FX^{2}=MC^{2}+FX^{2}=20+1=21.
Следовательно, XY=\sqrt{21}
.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2010, второй раунд, задача C2, с. 12