18097. В треугольник ABC
вписана окружность с центром I
. Прямая, проведённая через точку I
, пересекает сторону AB
в её внутренней точке M
, а сторону BC
— в её внутренней точке N
. Известно, что треугольник BMN
остроугольный. Точки K
и L
лежат на отрезке AC
, причём \angle BMI=\angle ILA
и \angle BNI=\angle IKC
. Докажите, что AM+KL+CN=AC
.
Решение. Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон BC
, CA
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно.
Точка N
должна лежать между C
и D
, так как иначе угол BNM
был бы тупым. Аналогично, точка M
лежит между A
и F
.
Точка L
должна лежать между E
и C
, так как иначе угол ILA
был бы тупым, а он по условию равен острому углу BMN
. Аналогично, точка E
лежит между K
и L
.
Поскольку AE=AF
и CE=CD
(см. задачу 1723), получаем
AC=AE+CE=AF+CD=(AM+MF)+(CN+ND),
а так как
\angle IKE=\angle IKC=\angle BNI=\angle DNI,
то прямоугольные треугольники IKE
и IND
равны по катету и противолежащему острому углу. Значит, EK=ND
. Аналогично, EL=MF
. Следовательно,
AC=(AM+MF)+(CN+ND)=AM+(EL+KE)+CN=AM+KL+CN.
Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2012, задача 1, с. 24