18098. Около остроугольного треугольника ABC
описана окружность \Gamma
. Биссектриса угла ABC
пересекает сторону AC
в точке B_{1}
, а меньшую дугу окружности \Gamma
— в точке P
. Прямая, проходящая через точку B_{1}
перпендикулярно BC
, пересекает меньшую дугу окружности \Gamma
в точке K
. Прямая, проходящая через точку B
перпендикулярно AK
, пересекает AC
в точке L
. Докажите, что точки K
, L
и P
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть S
— точка пересечения B_{1}K
и BC
, а T
— точка пересечения AK
и BL
. Из точек S
и T
отрезок BK
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BK
. Тогда
\angle CBL=\angle SBT=\angle SKT=\angle B_{1}KA.
Четырёхугольник ABKC
вписан в окружность \Gamma
, поэтому
\angle B_{1}AK=\angle CAK=\angle CBK,
а так как LB_{1}K
— внешний угол треугольника AB_{1}K
, то
\angle LB_{1}K=\angle B_{1}AK+\angle B_{1}KA=\angle CBK+\angle CBL=\angle LBK.
Из точек B
и B_{1}
, лежащих по одну сторону от прямой CK
, отрезок CK
виден под одним и тем же углом. Значит, четырёхугольник BKCB_{1}
вписанный. Тогда \angle LBB_{1}=\angle LKB_{1}
, поэтому
\angle CBB_{1}=\angle CBL+\angle LBB_{1}=\angle B_{1}KA+\angle CBL=\angle LKA.
Таким образом,
\angle LKA=\angle CBB_{1}=\frac{1}{2}\angle CBA=\frac{1}{2}\angle CKA.
Значит, луч KL
— биссектриса вписанного в окружность \Gamma
угла AKC
. Следовательно, она проходит через середину P
меньшей дуги AC
этой окружности, т. е. точки K
, L
и P
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2012, задача 5, с. 27