18100. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
, в котором AD=BD
. Диагонали AC
и BD
пересекаются в точке M
. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника BCM
. Прямая AC
вторично пересекает описанную окружность треугольника BIM
в точке N
. Докажите, что AN\cdot NC=CD\cdot BN
.
Решение. Обозначим \angle ABD=\angle BAD=\alpha
. Тогда
\angle ACD=\angle ADB=\alpha,
а так как четырёхугольник ABCD
вписанный, то
\angle BCD=180^{\circ}-\alpha,~\angle BCA=\angle BDA=180^{\circ}-2\alpha.
В то же время (см. задачу 4770),
\angle BIM=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BCM=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BCA=90^{\circ}+\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\alpha)=180^{\circ}-\alpha.
Поскольку четырёхугольник BIMN
вписанный,
\angle BNM=180^{\circ}-\angle BIM=180^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha)=\alpha.
Тогда
\angle NBC=180^{\circ}-\angle BCN-\angle CNB=180^{\circ}-\angle BCA-\angle MNB=
=180^{\circ}-(180^{\circ}-2\alpha)-\alpha=\alpha.
Значит,
\angle ABN=\angle ABC-\angle NBC=\angle ABC-\alpha=\angle ABC-\angle ABD=\angle CBD.
Таким образом,
\angle NAB=\angle CAB=\angle\angle CDB,
поэтому треугольники ABN
и DBC
подобны по двум углам. Значит,
\frac{AN}{CD}=\frac{BN}{CB}~\Rightarrow~CD\cdot BN=AN\cdot BC.
Поскольку
\angle NBC=\alpha=\angle BNM=\angle BNC,
треугольник BNC
равнобедренный, CB=CN
. Следовательно,
CD\cdot BN=AN\cdot BC=AN\cdot NC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2013, задача 5, с. 28