18101. Дан треугольник ABC
. Окружность \Gamma_{1}
проходит через вершину B
и касается прямой AC
в вершине A
. Окружность \Gamma_{2}
проходит через вершину C
и касается прямой AB
в вершине A
. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
вторично пересекаются в точке D
. Луч AD
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке E
. Докажите, что D
— середина отрезка AE
.
Указание. Треугольники DEC
и DBE
подобны.
Решение. Рассмотрим случай, когда точка D
лежит внутри треугольника ABC
. Если это не так, решение аналогично.
По теореме об угле между касательной и хордой
\angle BAD=\angle ACD~\mbox{и}~\angle CAD=\angle ABD,
поэтому треугольники ABD
и CAD
подобны по двум углам. Значит,
\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{CD}~\Rightarrow~AD^{2}=BD\cdot CD.
В то же время,
\angle ECD=\angle ECB+\angle BCD=\angle EAB+\angle BCD=\angle DCA+\angle BCD=\angle BCA,
а так как
\angle DEC=\angle AEC=\angle ABC,
то треугольник DEC
подобен треугольнику ABC
по двум углам. Аналогично, треугольник DBE
подобен треугольнику ABC
. Значит, треугольники DEC
и DBE
подобны. Тогда
\frac{CD}{DE}=\frac{ED}{DB},~\mbox{или}~DE^{2}=BD\cdot CD=AD^{2}.
Следовательно, DE=AD
, т. е. D
— середина отрезка AE
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2013, задача 5, с. 31