18105. Стороны BC
и AD
четырёхугольника ABCD
параллельны, а диагонали пересекаются в точке O
. Известно, что CD=AO
, BC=OD
, а CA
— биссектриса угла BCD
. Найдите \angle ABC
.
Ответ. 126^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle ACB=\alpha
и \angle CBD=\beta
. Тогда
\angle CAD=\angle BCA=\angle ACD=\alpha,
поэтому треугольник ADC
равнобедренный, CD=AD
. Тогда AO=CD=AD
, поэтому треугольник DAO
равнобедренный. Значит,
\angle AOD=\angle ADO=\angle ADB=\angle DAC=\beta,
а так как \angle BOC=\angle AOD=\beta
, то треугольник BCO
равнобедренный, OC=BC
. Тогда OC=BC=OD
, поэтому треугольник COD
тоже равнобедренный.
Поскольку \angle BDC=\angle DCO=\angle OCB
, треугольники BDC
и BCO
с общим углом при вершине B
подобны по двум углам. Значит,
\angle BDC=\angle ODC=\angle OCD=\alpha~\Rightarrow~\beta=\angle CBD=\angle BCD=2\alpha.
Из треугольника DOA
получаем, что \alpha+2\beta=180^{\circ}
. Из системы
\syst{\beta=2\alpha\\\alpha+2\beta=180^{\circ}\\}
находим, что \alpha=36^{\circ}
и \beta=72^{\circ}
.
Поскольку AD=DC=DB
, треугольник ADB
равнобедренный, поэтому
\angle ABD=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ADB=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}=90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}.
Следовательно,
\angle ABC=\angle ABD+\angle CBD=54^{\circ}+\beta=54^{\circ}+72^{\circ}=126^{\circ}.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2013, финальный раунд, задача 3, с. 18