18106. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Известно, что некоторая окружность касается прямой AI
в точке I
, вторично пересекает AB
в точке P
, а BC
— в точке Q
. Луч QI
пересекает AC
в точке R
. Докажите, что AR\cdot BQ=PI^{2}
.
Указание. Докажите параллельность AI
и PQ
и равенство треугольников RAI
и PAI
.
Решение. По теореме об угле между касательной и хордой и теореме о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу, получаем
\angle AIP=\angle IBP=\angle IBQ=\angle IPQ,
поэтому AI\parallel PQ
. Тогда
\angle IAB=\angle QPB=\angle QIB.
Значит, треугольники IAP
и BIQ
подобны по двум углам. Следовательно,
\frac{AP}{PI}=\frac{QI}{BQ}.\eqno(1)
Пусть луч AI
(биссектриса угла BAC
) пересекает сторону BC
в точке D
. Тогда \angle RAI=\angle PAI
, а так как BI
— биссектриса угла PAQ
, то
\angle AIP=\angle PQI=\angle DIQ=\angle AIR
(а также PI=QI
), то треугольники RAI
и PAI
равны по общей стороне AI
и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, из (1) получаем, что
\frac{AR}{PI}=\frac{PI}{BQ}~\Rightarrow~AR\cdot BQ=PI^{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2014, задача 3, с. 22