18107. Точка M
— середина стороны BC
треугольника ABC
. Точка D
лежит внутри стороны AB
. Отрезки AM
и CD
пересекаются в точке E
, причём AD=DE
. Докажите, что AB=CE
.
Решение. По теореме Менелая для треугольника BCD
и прямой AM
получаем
\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CE}{ED}\cdot\frac{DA}{AB}=1~\Leftrightarrow~\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CE}{AB}\cdot\frac{DA}{ED}=1,
т. е.
1\cdot\frac{CE}{AB}\cdot1=1~\Rightarrow~\frac{CE}{AB}=1.
Следовательно, AB=CE
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2014, задача 2, с. 26