18111. Дан параллелограмм ABCD
с острым углом при вершине A
. На продолжении стороны AB
за точку B
отмечена точка G
, для которой CG=CB
. На продолжении стороны CB
за точку B
отмечена точка H
, для которой AH=AB
. Докажите, что треугольник DGH
равнобедренный.
Решение. Заметим, что
\angle AGC=\angle BGC=\angle CBG=\angle DAG,
поэтому ADCG
— равнобедренная трапеция, CG=AD
. В то же время,
\angle AHC=\angle AHB=\angle ABH=\angle CBG=\angle DCH,
поэтому ADCH
— тоже равнобедренная трапеция, AH=CD
.
Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому
DG=AC=DH.
Следовательно, треугольник DGH
равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2014, задача 1, с. 16, вариант 1.