18112. На сторонах треугольника ABC
построены как на гипотенузах равнобедренные прямоугольные треугольники AUB
, CVB
и AWX
, причём точка U
лежит внутри треугольника ABC
, а точки V
и W
— вне. Докажите, что UVCW
— параллелограмм.
Указание. Докажите, что треугольники WAU
и CAB
подобны с коэффициентом \frac{1}{\sqrt{2}}
.
Решение. Треугольник AUB
равнобедренный и прямоугольный с гипотенузой AB
, поэтому \angle UAB=45^{\circ}
. Аналогично, \angle CAW=45^{\circ}
. Тогда
\angle WAU=45^{\circ}+\angle CAU=\angle CAB.
Кроме того,
AW=\frac{1}{\sqrt{2}}AC,~AU=\frac{1}{\sqrt{2}}AB.
Значит, треугольники WAU
и CAB
подобны, причём коэффициент подобия равен \frac{1}{\sqrt{2}}
. Тогда
WU=\frac{1}{\sqrt{2}}BC=CV.
Аналогично докажем, что
VU=\frac{1}{\sqrt{2}}AC=CW.
Противоположные стороны четырёхугольника UVCW
попарно равны, следовательно, UVCW
— параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2014, задача 2, с. 21, вариант 2