18114. Углы при вершинах A
и C
четырёхугольника ABCD
равны 90^{\circ}
. Точка E
лежит внутри четырёхугольника ABCD
. Точка M
— середина отрезка BE
. Докажите, что \angle ADB=\angle EDC
тогда и только тогда, когда MA=MC
.
Решение. Из точек A
и C
отрезок BD
виден под прямым углом, значит, четырёхугольник ABCD
вписан в окружность с диаметром AD
и с центром в середине N
диагонали BD
.
Пусть точка E
не лежит на диаметре BD
. Тогда MN
— средняя линия треугольника BDE
, поэтому MN\parallel DE
и MN=\frac{1}{2}DE
. Утверждение AM=CM
равносильно тому, что точка M
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC
, который проходит через центр окружности, т. е. через точку N
. Значит, AM=CM
тогда и только тогда, когда DE\perp AC
Пусть T
— точка пересечения DE
и AC
. Тогда AM=CM
тогда и только тогда, когда \angle DTC=90^{\circ}
. Из треугольника CDT
получаем
\angle DTC=180^{\circ}-\angle TDC-\angle DCT=180^{\circ}-\angle EDC-\angle DCA=
=180^{\circ}-\angle EDC-\angle DBA=180^{\circ}-\angle EDC-(90^{\circ}-\angle ADB)=
=90^{\circ}-(\angle EDC-\angle ADB).
Отсюда следует, что равенство \angle ADB=\angle EDC
равносильно тому, что \angle DTC=90^{\circ}
, что, как уже было установлено ранее, равносильно равенству AM=CN
.
Если же точка E
лежит на отрезке BD
, то MN=DE
. И в этом случае равенство MA=MC
равносильно тому, что M
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC
, т. е. точки M
и N
совпадают, а точка E
совпадает с D
, что противоречит условию задачи (точка E
должна лежать внутри данного четырёхугольника).
Источник: Датские математические олимпиады. — 2015, задача 1, с. 29