18116. Через вершину
B
равностороннего треугольника
ABC
проведена прямая, параллельная
AC
. На этой прямой отмечена точка
D
, лежащая с точкой
C
по одну сторону от прямой
AB
. Серединный перпендикуляр к отрезку
CD
пересекает прямую
AB
в точке
E
. Докажите, что треугольник
CDE
равносторонний.
Решение. Рассмотрим случай, когда точка
E
лежит на отрезке
AB
. Если
B
лежит между
A
и
E
, решение аналогично. (Поскольку точки
C
и
D
лежат по одну сторону от прямой
AB
, случай, когда
A
между
B
и
E
, невозможен.)
Точка
E
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку
CD
, поэтому
EC=ED
. Значит, достаточно доказать, что
\angle CED=60^{\circ}
.
Если точка
E
совпадает с
B
, то
\angle CED=\angle CBD=\angle ACB=60^{\circ}.

Тогда
E
совпадёт с
A
, а треугольник
CDE
— с равносторонним треугольником
CBA
.
Пусть теперь точка
E
отлична от
B
. Заметим, что
BA
— биссектриса внешнего угла при вершине
B
треугольника
BCD
, а так как эта биссектриса и серединный перпендикуляр к стороне
CD
треугольника
BCD
пересекаются на описанной окружности треугольника
BCD
(см. примечание к задаче 1743), то точка
E
лежит на этой окружности. Значит,
\angle CED=\angle CBD=\angle ACB=60^{\circ}.

Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2015, задача 3, с. 35