18117. Дан четырёхугольник ABCD
с параллельными сторонами BC
и AD
. Проведены биссектрисы всех его четырёх углов. Биссектрисы углов при вершинах A
и B
пересекаются в точке P
, углов при вершинах B
и C
— в точке Q
, углов при вершинах C
и D
— в точке R
, углов при вершинах D
и A
— в точке S
. Известно, что PS\parallel QR
. Докажите, что AB=CD
.
Решение. Пусть биссектриса угла при вершине C
данного четырёхугольника пересекает сторону AD
в точке H
. Тогда
\frac{1}{2}\angle BAD=\angle SAD=\angle CHD=\angle HCB=\frac{1}{2}\angle DCB,
поэтому \angle BAD=\angle DCB
. Значит, из параллельности AD
и BC
получаем
\angle BAD+\angle ADC=\angle DCB+\angle ADC=180^{\circ}.
Тогда AB\parallel CD
.
Противоположные стороны четырёхугольника ABCD
попарно параллельны, значит, ABCD
— параллелограмм. Следовательно, AB=CD
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2015, задача 3, с. 17, вариант 1