18118. Точки A
, B
и C
лежат на прямой в указанном порядке. Точки D
и E
лежат по одну сторону от этой прямой, причём треугольники ABD
и BCE
равносторонние. Отрезки AE
и CD
пересекаются в точке S
. Докажите, что \angle ASD=60^{\circ}
.
Решение. Поскольку
\angle ABE=180^{\circ}-\angle CBE=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}
и аналогично, \angle CBD=120^{\circ}
, то \angle ABE=\angle CBD
. Кроме того, AB=BD
и BE=BC
, поэтому треугольники ABE
и DCB
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, \angle BAE=\angle BDC
. Следовательно, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ASD=\angle BAE+\angle BCD=\angle BDC+\angle BCD=180^{\circ}-120^{\circ}60^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2015, задача 3, с. 17, вариант 2