1812. Хорда, перпендикулярная диаметру окружности, делит его в отношении 1:3
. Под какими углами видна хорда из концов этого диаметра?
Ответ. 60^{\circ}
, 120^{\circ}
.
Указание. Соедините один из концов хорды с концами диаметра и с центром окружности. Один из образовавшихся треугольников равносторонний.
Решение. Пусть AB
— диаметр окружности с центром O
, CD
— хорда, пересекающая диаметр AB
в точке M
, CD\perp AB
, AM:BM=1:3
. Обозначим AM=a
. Тогда
BM=3a,~OC=OB=OA=2a,~OM=OA-AM=2a-a=a.
Поскольку в прямоугольном треугольнике COM
катет OM
равен половине гипотенузы OC
, то угол, противолежащий этому катету, равен 30^{\circ}
, т. е. \angle OCM=30^{\circ}
. Поэтому \angle COM=60^{\circ}
, а так как треугольник AOC
— равносторонний, то \angle CAB=60^{\circ}
. Аналогично находим, что \angle DAB=60^{\circ}
. Следовательно,
\angle CAD=\angle CAB+\angle DAB=120^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника BAC
находим, что \angle CBA=30^{\circ}
. Следовательно,
\angle CBD=2\angle CBA=60^{\circ}.
