18121. Точка U
лежит внутри квадрата ABCD
и равноудалена от его вершин A
и B
. Диагональ AC
квадрата пересекает отрезок AC
в точке V
. Известно, что \angle DAU=28^{\circ}
. Найдите градусную меру угла при вершине V
треугольника CVB
.
Ответ. 107^{\circ}
.
Решение. Пусть E
— точка пересечения диагонали AC
на серединном перпендикуляре l
к этому отрезку. Поскольку точка U
равноудалена от концов отрезка AB
, она лежит на прямой l
.
Заметим, что
\angle UAV=\angle DAC-\angle DAU=45^{\circ}-28^{\circ}=17^{\circ}.
В равнобедренном треугольнике AUB
луч UE
лежит на прямой l
, поэтому UE
— биссектриса угла AUB
, а так как прямая UE
параллельна стороне AD
квадрата, то
\angle AUB=2\angle AUE=2\cdot28^{\circ}=56^{\circ}.
Следовательно,
\angle BVC=\angle UVA=180^{\circ}-\angle UAV-\angle AUV=180^{\circ}-17^{\circ}-56^{\circ}=107^{\circ}.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2016, первый раунд, задача 3, с. 7