18123. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине B
и катетами AB=1
, BC=2
. На катете BC
отмечены точки D
и E
, причём точка E
лежит между C
и D
. Вершина F
квадрата DEFG
лежит на гипотенузе AC
, а вершина G
— на окружности с центром A
, проходящей через точку B
. Найдите DE
.
Ответ. \frac{2}{5}
.
Указание. Пусть прямая FG
пересекает катет AB
в точке H
. Примените теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику AHG
.
Решение. Обозначим DE=EF=x
. Из подобия прямоугольных треугольников FEC
и ABC
получаем CE=2x
. Пусть прямая FG
пересекает катет AB
в точке H
. Тогда BEFG
и BDGH
— прямоугольники, поэтому
AH=AB-BH=AB-EF=1-x,
GH=BD=BC-DE-CE=2-x-2x=2-3x.
Из прямоугольного треугольника AHG
получаем
AH^{2}+GH^{2}=AG^{2},~\mbox{или}~(1-x)^{2}+(2-3x)^{2}=1~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~5x^{2}-7x+2=0~\Leftrightarrow~(x-1)(5x-2)=0.
Поскольку x\lt1
, условию задачи удовлетворяет только BD=x=\frac{2}{5}
.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2016, второй раунд, задача B5, с. 9