18124. Диагонали четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
. Точки X
и Y
— ортоцентры треугольников PAB
и PCD
соответственно. Известно, что X
лежит внутри треугольника PAB
, а Y
— внутри треугольника PCD
, причём P
— середина отрезка XY
. Докажите, что ABCD
— параллелограмм.
Решение. Пусть K
и L
— точки пересечения диагонали BD
с лучами AX
и CY
соответственно. Прямоугольные треугольники PKX
и PLY
равны по гипотенузе и острому углу. Значит, PK=PL
. Тогда прямоугольные треугольники PAK
и PCL
равны по катету и прилежащему острому углу. Значит, AP=PC
, т. е. P
— середина диагонали AC
данного четырёхугольника.
Аналогично докажем, что P
— середина диагонали BD
. Следовательно, ABCD
— параллелограмм.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2016, финальный раунд, задача 4, с. 17, вариант 1