18126. В прямоугольном треугольнике ABC
проведена высота AD
из вершины прямого угла при вершине A
. Точки E
и F
— середины AD
и AC
соответственно, M
— центр описанной окружности треугольника BEF
. Докажите, что AC\parallel BM
.
Указание. Докажите подобие треугольников AEB
и CFB
.
Решение. Прямоугольные треугольники ADB
и CAB
с общим острым углом при вершине B
подобны по двум углам, поэтому \frac{AD}{AB}=\frac{CA}{CB}
. Поскольку AE=\frac{1}{2}AD
и CF=\frac{1}{2}CF
, то
\frac{AE}{AB}=\frac{\frac{1}{2}AD}{AB}=\frac{1}{2}\cdot\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}\cdot\frac{AC}{BC}=\frac{\frac{1}{2}AC}{BC}=\frac{CF}{CB},
а так как \angle BAE=\angle BCF
, то треугольники AEB
и CFB
подобны. Значит, \angle ABE=\angle CBF
.
Обозначим углы при основании BE
равнобедренного треугольника BME
через \varphi
. Отрезок EF
— средняя линия треугольника ADC
, прямые EF
и BC
параллельны, а так как центральный угол BME
описанной окружности треугольника BEF
вдвое больше соответствующего вписанного угла BFE
, то
\angle BFE=\frac{1}{2}\angle BME=90^{\circ}-\varphi~\mbox{и}~\angle ABE=\angle CBF=90^{\circ}-\angle EBM=90^{\circ}-\varphi.
Тогда
\angle ABM=\angle ABE+\angle EBM=(90^{\circ}-\varphi)+\varphi=90^{\circ}=\angle BAC.
Следовательно, AC\parallel BM
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2017, задача 3, с. 21