18129. Два равных правильных шестиугольника и параллелограмм расположены так, как показано на рисунке. Найдите сумму площадей закрашенных частей параллелограмма, если площадь параллелограмма равна 1.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. Введём обозначения, как показано на рисунке. Заметим, что при симметрии относительно середины O
общей стороны MN
шестиугольник AKLMNP
переходит в шестиугольник CYRNMQ
, а пятиугольник BQMLK
— в пятиугольник DPNRY
. В то же время, при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{BL}
пятиугольник BQMLK
переходит в пятиугольник DPNRY
, поэтому искомая площадь S'
равна площади параллелограмма PLYD
.
Пусть стороны равных правильных шестиугольников AKLMNP
и CYRNMQ
равны x
. Тогда
BC=XY=XL+LM+MY=KL+MN+MY=x+x+2x=4x,
AX=AK+KX=AK+KL=x+x=2x,
AB=AX+XB=AX+YC=2x+x=3x.
Пусть AH
— высота параллелограмма. Тогда
AH=AB\sin60^{\circ}=3x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3x\sqrt{3}}{2}.
Значит,
1=S_{ABCD}=BC\cdot AH=4x\cdot\frac{3x\sqrt{3}}{2}=6x^{2}\sqrt{3}~\Rightarrow~x^{2}\sqrt{3}=\frac{1}{6}.
Поскольку
AL=\frac{AL}{AH}=\frac{AX}{AB}=\frac{2}{3}~\Rightarrow~AL=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}\cdot\frac{3x\sqrt{3}}{2}=x\sqrt{3}
и
LY=LM+MY=x+2x=3x,
то
S'=S_{PLYD}=LY\cdot AL=3x\cdot x\sqrt{3}=3\cdot x^{2}\sqrt{3}=3\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{2}.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2017, задача 4, с. 3