18131. В параллелограмме ABCD
известно, что AD=BD
. Точка E
лежит на отрезке BD
, причём AE=DE
. Прямая AE
пересекает сторону BC
в точке F
. Луч DF
— биссектриса угла CDE
. Найдите градусную меру угла ABD
.
Ответ. 72^{\circ}
Указание. Пусть \angle ADB=\alpha
и \angle BDF=\angle CDF=\beta
, докажите равенство Треугольников ABE
и DFE
и составьте систему уравнений относительно \alpha
и \beta
.
Решение. Обозначим
\angle ADB=\angle ADE=\angle CBD=\alpha,~\angle CDF=\angle EDF=\beta.
Тогда, поскольку треугольник BCD
равнобедренный (BC=AD=DB
),
\angle BCD=\angle BDC=2\beta
Треугольник BEF
равнобедренный, так как он подобен равнобедренному треугольнику DEA
. Тогда BE=FE
, а так как AE=DE
и \angle DEF=\angle BEA
, то треугольники ABE
и DFE
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, \angle BAE=\angle FDE=\beta
. Кроме того,
\angle ABD=\angle CDE=2\beta,
а так как BEA
— внешний угол равнобедренного треугольника AED
, то
\angle BEA=2\angle ADE=2\alpha.
Из треугольников ABE
и BCD
получаем систему
\syst{2\alpha+3\beta=180^{\circ}\\\alpha+4\beta=180^{\circ},\\}
из которой находим \beta=36^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABD=2\beta=2\cdot36^{\circ}=72^{\circ}.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2017, задача 2, с. 16