18136. В треугольнике ABC
известно, что \angle A=\frac{1}{2}\angle C
. Точка D
лежит на прямой BC
(B
между C
и D
), причём BD=AB
. Точка E
лежит на биссектрисе угла ABC
, причём \angle BAE=\angle ACB
. Отрезки BE
и AC
пересекаются в точке F
. Точка G
лежит на отрезке AD
, причём EG\parallel BC
. Докажите, что AG=BF
.
Указание. Треугольники ABF
и EGA
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Решение. Луч BE
— биссектриса угла ABC
, поэтому \angle ABE=\angle CBF
. По условию \angle FCB=\angle EAB
, а так как суммы углов треугольников ABE
и CBF
равны по 180^{\circ}
, то \angle BFC=\angle BEA
. Тогда
\angle AFE=\angle CFB=\angle FEA.
Значит, треугольник AEF
равнобедренный, AE=AF
.
Докажем, что треугольники ABF
и EGA
равны. Действительно, \angle EGA=\angle CDA
, так как EG
и BC
параллельны. Треугольник ABD
равнобедренный, поэтому
\angle CDA=\angle BDA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABD)=\frac{1}{2}\angle ABC=\angle ABF,
так как BF
— биссектриса угла ABC
. Значит,
\angle EGA=\angle CDA=\angle ABF.
Треугольник ABD
равнобедренный, поэтому
\angle BAG=\angle BAD=\angle CDA=\angle ABF.
Кроме того, \angle EGA=\angle ABF
, а так как сумма углов треугольника GEA
равна 180^{\circ}
, то
180^{\circ}=\angle EGA-\angle EAG=180^{\circ}-\angle FGA-(\angle EAB+\angle BAG)=
=180^{\circ}-\angle ABF-\angle FCB-\angle ABF=180^{\circ}-2\angle ABF.
Поскольку 2\angle ABF=\angle ABC
, получаем
\angle GEA=180^{\circ}-\angle FCB-\angle ABC=\angle GEA=\angle BAC.
Значит, \angle GEA=\angle BAF
. Учитывая, что AE=AF
, получаем, что треугольники ABF
и EGA
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Следовательно, AG=BF
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2018, задача 4, с. 17