18137. Прямая, проходящая через центр I
вписанной окружности треугольника ABC
перпендикулярно AI
, пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точках P
и Q
, причём точки P
и B
лежат по одну сторону от прямой AI
. Описанные окружности треугольников BIP
и CIQ
вторично пересекаются в точке S
, отличной от I
. Докажите, что SI
— биссектриса угла PSQ
.
Указание. См. задачи 4770 и 6.
Решение. Пусть \angle CAB=2\alpha
, \angle ABC=2\beta
и \angle BCA=2\gamma
. Тогда (см. задачу 4770)
\angle BIA=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB=90^{\circ}+\gamma,
поэтому
\angle BIP=\angle BIA-\angle AIP=(90^{\circ}+\gamma)-90^{\circ}=\gamma=\angle BCI.
Из вписанного четырёхугольника BPCQ
получаем
180^{\circ}-\angle BPI=180^{\circ}-\angle BPQ=\angle BCQ=\angle BCI+\angle ICQ.
Сумма углов треугольника BPI
равна 180^{\circ}
, поэтому, учитывая доказанные выше равенства, получим
\angle PBI=180^{\circ}-\angle BPI-\angle BIP=(180^{\circ}-\angle BPI)-\angle BCI=
=(\angle BCI+\angle ICQ)+\angle BCI=\angle ICQ.
Четырёхугольники BSIP
и CQIS
вписанные, поэтому
\angle PSI=\angle PBI=\angle ICQ=\angle ISQ.
Следовательно, SI
— биссектриса угла PSQ
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2019, задача 2, с. 21