18138. На стороне AC
треугольника ABC
лежат точки D
и E
, причём A
, E
, D
и C
расположены в указанном порядке. Прямая, проходящая через точку E
параллельно BC
, пересекает описанную окружность треугольника ABD
в точке F
, причём точки E
и F
лежат по разные стороны от прямой AB
. Прямая, проходящая через точку E
параллельно AB
, пересекает описанную окружность треугольника BCD
в точке G
, причём точки E
и G
лежат по разные стороны от прямой BC
. Докажите, что четырёхугольник DEFG
вписанный.
Указание. Пусть прямая FB
вторично пересекает описанную окружность треугольника BCD
в точке G'
. Докажем, что четырёхугольник DEFG'
вписанный, а точка G'
совпадает с точкой G
.
Решение. Пусть прямая FB
вторично пересекает описанную окружность треугольника BCD
в точке G'
. Докажем, что четырёхугольник DEFG'
вписанный, а точка G'
совпадает с точкой G
.
Поскольку EF\parallel BC
, а четырёхугольник BDCG'
вписанный, то
180^{\circ}-\angle DEF=\angle AEF=\angle ACB,
\angle ACB=\angle DCB=\angle DG'B=\angle DG'F.
Значит,
180^{\circ}-\angle DEF=\angle ACB=\angle DG'F.
Следовательно, DEFG'
вписанный. Тогда
\angle DEG'=\angle DFG'=\angle DFB.
Поскольку четырёхугольник ADBF
вписанный, то \angle DFB=\angle DAB
, поэтому \angle DEG'=\angle DAB
. Значит, EG'\parallel AB
, а так как точка G'
лежит на описанной окружности треугольника BCD
, то она совпадает с G
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2019, задача 4, с. 25