18141. На рисунках изображены равнобедренные прямоугольные треугольники с гипотенузой, равной 1, и по два равных квадрата с общей стороной. На первом рисунке сторона прямоугольника, образованного квадратами, лежит на гипотенузе треугольник, а на втором — на катете. Найдите разность площадей прямоугольников, лежащих внутри первого и второго треугольников.
Ответ. \frac{1}{72}
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на первом рисунке. Пусть стороны квадратов равны x
. Общая сторона квадратов лежит на высоте треугольника, проведённой из вершины прямого угла и равной \frac{1}{2}
. Из подобия получаем
\frac{\frac{1}{2}-x}{\frac{1}{2}}=\frac{2x}{1}~\Rightarrow~x=\frac{1}{4}.
Пусть стороны квадратов, изображённых на втором рисунке, равны y
. Ближайшая к острому углу сторона квадрата, отсекает от данного треугольника равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными y
. Значит,
\frac{\sqrt{2}}{2}-2y=y~\Rightarrow~y=\frac{\sqrt{2}}{6}.
Следовательно,
2x^{2}-2y^{2}=2\cdot\frac{1}{16}-2\cdot\frac{1}{18}=\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=\frac{1}{72}.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2018, задача 4, с. 36