18141. На рисунках изображены равнобедренные прямоугольные треугольники с гипотенузой, равной 1, и по два равных квадрата с общей стороной. На первом рисунке сторона прямоугольника, образованного квадратами, лежит на гипотенузе треугольника, а на втором — на катете. Найдите разность площадей прямоугольников, лежащих внутри первого и второго треугольников.
Ответ. \frac{1}{72}
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на первом рисунке. Пусть стороны квадратов равны x
. Заметим, что гипотенуза разбита на четыре отрезка, равных x
. Значит, x=\frac{1}{4}
.
Пусть стороны квадратов, изображённых на втором рисунке, равны y
. Катет исходного треугольника, равный \frac{\sqrt{2}}{2}
, разбит на три отрезка, равных y
. Значит, y=\frac{\sqrt{2}}{6}
.
Следовательно,
2x^{2}-2y^{2}=2\cdot\frac{1}{16}-2\cdot\frac{1}{18}=\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=\frac{1}{72}.
Источник: Нидерландские математические олимпиады. — 2018, задача 4, с. 36