18142. Шесть равносторонних треугольников образуют параллелограмм ABCD
, как показано на рисунке. Найдите XY
, если AC=10
.
Ответ. \frac{5}{6}
.
Решение. Положим AD=a
и CD=3a
. По теореме косинусов
100=AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}-2AD\cdot CD\cos120^{\circ}=a^{2}+9a^{2}+3a^{2}=13a^{2},
откуда a=\frac{10}{\sqrt{13}}
.
Пусть точки M
и N
, лежащие на сторонах соответственно CD
и AB
параллелограмма,— вершины равностороннего треугольника BMN
. Треугольник CXM
подобен треугольнику BXN
с коэффициентом \frac{CM}{BN}=\frac{1}{2}
, поэтому MX=\frac{1}{3}MN=\frac{1}{3}a
. Треугольник CYM
подобен треугольнику AYB
с коэффициентом \frac{CM}{AB}=\frac{1}{3}
, поэтому MY=\frac{1}{4}MB=\frac{1}{4}a
.
По теореме косинусов
XY=\sqrt{MX^{2}+MY^{2}-2MX\cdot MY\cos60^{\circ}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{9}+\frac{a^{2}}{16}-\frac{a^{2}}{12}}=\frac{a\sqrt{13}}{12}.
Следовательно,
XY=a\cdot\frac{\sqrt{13}}{12}=\frac{10}{\sqrt{13}}\cdot\frac{\sqrt{13}}{12}=\frac{5}{6}.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2018, задача 7, с. 39