18142. Шесть равносторонних треугольников образуют параллелограмм ABCD
, как показано на рисунке. Найдите XY
, если AC=10
.
Ответ. \frac{5}{6}
.
Решение. Пусть AED
, DEG
, EFG
, GFH
, FBH
и HBC
— данные равносторонние треугольники, а прямая AC
пересекает отрезки EG
, GF
и DE
в точках M
, N
и K
соответственно. Поскольку
CH=HG=GD~\mbox{и}~FH\parallel GE\parallel AD,
то по теореме Фалеса
CX=XM=MA=\frac{1}{3}AC.
Пусть DAI
— ещё один равносторонний треугольник. Поскольку
CH=HG=GD=DI~\mbox{и}~BH\parallel FG\parallel DE\parallel AI,
то по теореме Фалеса
CY=YN=NK=KA=\frac{1}{4}AC.
Следовательно,
XY=CX-CY=\frac{1}{3}AC-\frac{1}{4}AC=\frac{1}{12}AC=\frac{1}{12}\cdot10=\frac{5}{6}.
Источник: Нидерландские математические олимпиады. — 2018, задача 7, с. 39