18144. В равносторонний треугольник вписана окружность радиуса 10. Её касается окружность меньшего радиуса, вписанная в угол треугольника, а этой окружности касается окружность ещё меньшего радиуса, вписанная в тот же угол треугольника (см. рисунок). Найдите её радиус.
Ответ. \frac{10}{9}
.
Решение. Обозначим через r
радиус второй окружности. Из центра второй окружности опустим перпендикуляр на радиус первой, проведённый в точку касания с общей касательной этих окружностей. Рассмотрим прямоугольник с катетом, равным 10-r
и противолежащим угол 30^{\circ}
, а так как гипотенуза этого треугольника вдвое больше катета, лежащего против угла 30^{\circ}
, получаем уравнение
\frac{10-r}{10+r}=\frac{1}{2}~\Rightarrow~r=\frac{10}{3}.
Заметим, что фигура, состоящая из первых двух окружностей их общих касательных, гомотетична с центром гомотетии, совпадающим с вершиной данного треугольника, фигуре, состоящей из второй и третьей окружностей. Значит, эти фигуры подобны.
Пусть x
— радиус третьей окружности. Тогда \frac{10}{r}=\frac{r}{x}
. Следовательно
x=\frac{r^{2}}{10}=\frac{\frac{100}{9}}{10}=\frac{10}{9}.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2019, задача 8, с. 4