18145. Точки A
, B
и C
лежат на окружности с центром M
. Известно, что точка, симметричная M
относительно прямой AB
, лежит внутри треугольника ABC
и совпадает с точкой пересечения его биссектрис. Луч AM
пересекает описанную окружности треугольника ABC
в точке D
. Докажите, что CA\cdot CD=AB\cdot AM
.
Указание. Докажите, что треугольник ACB
и подобен равнобедренному треугольнику CMD
.
Решение. Пусть I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
. Обозначим \angle CAI=\alpha
и \angle CBI=\beta
. Из равнобедренного треугольника AMC
получаем
\angle ACM=\angle CAM=\angle CAI+\angle IAB+\angle BAM=\alpha+\alpha+\alpha=3\alpha.
Аналогично, \angle BCM=3\beta
.
Треугольник AMB
равнобедренный, поэтому \angle BAM=\angle ABM
, или \alpha=\beta
. Сумма углов треугольника ABC
равна 180^{\circ}
, т. е.
2\alpha+3\alpha+2\beta+3\beta=5\alpha+5\alpha=10\alpha=180^{\circ},
откуда \alpha=18^{\circ}
.
Поскольку
\angle ACB=\angle6\alpha=108^{\circ}~\mbox{и}~\angle CMD=\angle AMC+\angle CMA=3\alpha+3\alpha=6\alpha=108^{\circ},
то равнобедренные треугольники ACB
и CMD
подобны, поэтому
\frac{CM}{CD}=\frac{CA}{AB},~\mbox{или}~\frac{AM}{CD}=\frac{CA}{AB},
так как CM=AM
. Следовательно, CA\cdot CD=AB\cdot AM
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2019, задача 3, с. 16