18146. В остроугольном треугольнике ABC
проведена высота AD
. Точки D_{1}
и D_{2}
симметричны точке D
относительно прямых AB
и AC
соответственно. Прямая, проходящая через точку D_{1}
параллельно AB
, пересекает прямую BC
в точке E_{1}
, а прямая, проходящая через точку D_{2}
параллельно AC
, пересекает прямую BC
в точке E_{2}
. Докажите, что точки D_{1}
, D_{2}
, E_{1}
и E_{2}
лежат на окружности с центром на описанной окружности треугольника ABC
.
Указание. Докажите, что четырёхугольник E_{1}E_{2}D_{2}D_{1}
вписанный.
Решение. Пусть K
и L
точки пересечения DD_{1}
с прямой AB
и DD_{2}
с прямой AC
соответственно, т. е. середины DD_{1}
и DD_{2}
соответственно. Поскольку \angle AKD=90^{\circ}=\angle ALD
, четырёхугольник AKDL
вписан в окружность с центром на отрезке AD
, а так как AD\perp BC
, то прямая BC
— касательная к этой окружности. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой \angle DLK=\angle BDD_{1}
, поэтому
\angle DLK=\angle DAK=\angle DAB=\angle BDK=90^{\circ}-\angle ABC,
а так как KL
— средняя линия треугольника D_{1}DD_{2}
, то
\angle D_{1}D_{2}D=\angle DLK=90^{\circ}-\angle ABC.
Поскольку AC\perp DD_{2}
и D_{2}E_{2}\parallel AC
, то \angle DD_{2}E_{2}=90^{\circ}
. Значит,
\angle D_{1}D_{2}E_{2}=\angle D_{1}D_{2}D+\angle DD_{2}E_{2}=(90^{\circ}-\angle ABC)+90^{\circ}=180^{\circ}-\angle ABC.
В то же время, так как D_{1}E_{1}\parallel AB
, то \angle D_{1}E_{1}E_{2}=\angle ABC
, поэтому
\angle D_{1}D_{2}E_{2}+\angle D_{1}E_{1}E_{2}=(180^{\circ}-\angle ABC)+\angle ABC=180^{\circ}
Следовательно, четырёхугольник E_{1}E_{2}D_{2}D_{1}
вписанный.
Пусть AM
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
. Тогда \angle ACM=90^{\circ}
, а так как D_{2}E_{2}\parallel LC
, а L
— середина DD_{2}
, то CM\perp D_{2}E_{2}
. Значит, C
—середина DE_{2}
. Поскольку CM\parallel DD_{2}
, то прямая CM
— серединный перпендикуляр к отрезку D_{2}E_{2}
. Аналогично, прямая BM
— серединный перпендикуляр к отрезку D_{1}E_{1}
.
Поскольку M
— точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам D_{2}E_{2}
и D_{1}E_{1}
вписанного четырёхугольника E_{1}E_{2}D_{2}D_{1}
, то M
— центр его описанной окружности. Значит, точка M
равноудалена от всех вершин четырёхугольника E_{1}E_{2}D_{2}D_{1}
. Следовательно, точка M
, лежащая на описанной окружности треугольника ABC
, — центр окружности, проходящей через точки D_{1}
, D_{2}
, E_{1}
и E_{2}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2020, задача 2 с. 20