18147. На окружности с центром M
отмечены различные точки A
, B
и C
, причём AB=BC
. Точка D
лежит внутри окружности, причём треугольник BCD
равнобедренный с основанием CD
. Луч AD
пересекает окружность в точке F
. Докажите, что FD=FM
.
Указание. Докажите, что треугольники BCD
и CMF
равносторонние.
Решение. Докажем, что FD=FC
и CM=FM
, откуда будет следовать утверждение задачи.
Обозначим \angle BCF=\gamma
. Четырёхугольник ABCF
вписанный, поэтому
\angle BAF=\angle180^{\circ}-\angle BCF=180^{\circ}-\gamma.
Тогда
\angle ADB=\angle BAD=180^{\circ}-\angle BAF=180^{\circ}-\gamma,
поэтому
\angle BDF=180^{\circ}-\angle ADB=180^{\circ}-(180^{\circ}-\gamma)=\gamma=\angle BCF.
Поскольку DC=DB
как радиусы окружности, то BC=DB=DC
, поэтому треугольник BCD
равносторонний. Значит, \angle CBD=60^{\circ}
.
Вписанные углы BFC
и AFB
опираются на равные хорды BC
и AB
соответственно, поэтому
\angle DFB=\angle AFB=\angle CFB.
Тогда
\angle DBF=\angle DBF=180^{\circ}-\angle BDF-\angle BFD=180^{\circ}-\angle BCF-\angle BFC=\angle CBF.
Значит, треугольники BDF
и BCF
с общей стороной BF
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому DF=CF
.
Центральный угол CMF
вдвое больше соответствующего вписанного угла CBF
, т. е.
\angle CMF=\angle CBD=60^{\circ},
а так как MC=MF
как радиусы окружности, то равнобедренный треугольник CMF
— равносторонний. Следовательно,
FD=FC=FM.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2020, задача 4, с. 22