18148. Точка I
— центр вписанной окружности остроугольного треугольника ABC
. Известно, что AC+AI=BC
. Докажите, что \angle BAC=2\angle ABC
.
Указание. Отложите на стороне CB
отрезок CD=CA
и докажите, что четырёхугольник ABDI
— равнобедренная трапеция.
Решение. Пусть D
— точка на луче BC
, для которой CD=AC
. Из условия следует, что D
лежит на отрезке BC
и
BD=BC-CD=BC-AC=AI.
Треугольник ACD
равнобедренный, поэтому биссектриса CI
его угла при вершине C
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AD
. Значит, точки A
и D
симметричны относительно прямой CI
, поэтому
\angle CDI=\angle CAI=\angle IAB.
Тогда
\angle CDI=180^{\circ}-\angle CDI=\angle CAI=\angle BAI,
поэтому четырёхугольник ABDI
вписанный с равными сторонами BD
и AI
. Тогда AB\parallel DI
, поэтому ABDI
— равнобедренная трапеция. Её углы при основании основании AB
равны. Тогда
\angle CBA=\angle DBA=\angle BAI=\frac{1}{2}BAC.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2019, задача 1, с. 24