18149. Касательные в вершинах B
и C
к описанной окружности остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке P
. Прямая, проходящая через вершину A
перпендикулярно AB
, и прямая, проходящая через вершину C
перпендикулярно AC
, пересекаются в точке X
. Прямая, проходящая через вершину A
перпендикулярно AC
, и прямая, проходящая через вершину B
перпендикулярно AB
, пересекаются в точке Y
. AP\perp XY
.
Указание. Пусть M
— центр описанной окружности треугольника ABC
, а T
— точка пересечения AP
и YM
. Докажите, что точки X
, M
и Y
лежат на одной прямой.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Пусть M
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Докажем, что прямоугольные треугольники BYA
и BMP
подобны.
Центральный угол BMC
вдвое больше соответствующего вписанного угла BAC
, т. е. \angle BMC=2\alpha
, а так как MB=MC
и PB=PC
то MP
— серединный перпендикуляр к стороне BC
. Тогда прямоугольные треугольники BMP
и CMP
равны по катету и общей гипотенузе. Поэтому
\angle BMP=\frac{1}{2}BMC=\alpha.
Кроме того, отрезок MP
виден из точек B
и C
под прямым углом, поэтому четырёхугольник BPCM
вписан в окружность с диаметром MP
. Тогда \angle MPB=90^{\circ}
.
В то же время, поскольку \angle ABY=90^{\circ}
, поэтому
\angle YAB=\angle YAC-\angle BAC=90^{\circ}-\alpha=\angle MPB.
Значит, прямоугольные треугольники BYA
и BMP
подобны по двум углам. Тогда \frac{YB}{YA}=\frac{MB}{PB}
.
Далее получаем
\angle YBM=\angle YBA+\angle ABM=90^{\circ}+\angle ABM=\angle MBP+\angle ABM=\angle ABP.
Учитывая, что \frac{YB}{YA}=\frac{MB}{PB}
, получаем что треугольники YBM
и ABP
подобны, поэтому \angle BAP=\angle BYM
.
Пусть T
— точка пересечения AP
и YM
. Тогда
\angle BYT=\angle BYM=\angle BAP=\angle BAT.
Из точек A
и Y
, лежащих по одну сторону от прямой BT
, отрезок BT
виден под одним и тем же углом, поэтому четырёхугольник BYAT
вписанный. Значит,
\angle ATY=\angle ABY=90^{\circ},
т. е. AT\perp YM
.
Аналогично докажем, что AP\perp XM
. Следовательно, точка M
лежит на прямой XY
, причём AP\perp XY
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2020, задача 4, с. 31