18151. Точки A
, B
, C
и D
лежат в указанном порядке на одной прямой. Точка T
лежит вне этой прямой, причём AB=BT
, CD=CT
и \angle BTC=54^{\circ}
. Найдите \angle ATD
Ответ. 117^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle DAT=\alpha
и \angle ADT=\delta
. Из равнобедренных треугольников ABT
и CDT
получаем
\angle ATB=\angle BAT=\angle DAT=\alpha,~\angle CTD=\angle TDC=\angle ADT=\delta.
Сумма углов треугольника ATD
равна 180^{\circ}
, т. е.
180^{\circ}=\angle DAT+\angle ATD+\angle ADT=\alpha+(\alpha+54^{\circ}+\delta)+\delta=
=2(\alpha+\beta)+54^{\circ}~\Rightarrow~\alpha+\delta=63^{\circ}.
Следовательно,
\angle ATD=\alpha+\delta+54^{\circ}=63^{\circ}+54^{\circ}=117^{\circ}.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2019, часть 2, задача 4, с. 38