18152. Точки K
и L
лежат на стороне BC
треугольника ABC
, а точки M
и N
— на сторонах AC
и AB
соответственно. Известно, что AMN
, BNK
и CLM
— равнобедренные треугольники с основаниями AN
, BK
и CM
соответственно, а KLMN
— ромб. Найдите \angle ACB
.
Ответ. 36^{\circ}
.
Решение. Обозначим углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Тогда
\angle KNM=\angle KLM=\angle MCL+\angle MCL=2\gamma~\Rightarrow
\Rightarrow~180^{\circ}=\angle ANM+\angle KNM+\angle BNK=\alpha+2\gamma+(180^{\circ}-2\beta),
откуда
\alpha+2\gamma=2\beta.
Далее получаем
180^{\circ}=\angle CKN+\angle BKN=(180^{\circ}-2\gamma)+\beta,
откуда \beta=2\gamma
, а так как
180^{\circ}=\angle AMN+\angle LMN+\angle CML=(180^{\circ}-2\alpha)+(180^{\circ}-2\gamma)+\gamma,
то
2\alpha+\gamma=180^{\circ}.
Таким образом, из системы
\syst{\alpha+2\gamma=2\beta\\\beta=2\gamma\\2\alpha+\gamma=180^{\circ}}
\alpha
и \beta
, получим
\syst{\alpha=2\gamma\\\beta=2\gamma.\\}
Тогда из третьего уравнения находим, что
5\gamma=180^{\circ}~\Rightarrow~\angle ACB=\gamma=36^{\circ}.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2019, часть 2, задача 2, с. 8