18153. В параллелограмме ABCD
с острым углом при вершине A
сторона AB
меньше стороны BC
. Биссектриса угла BAD
пересекает сторону BC
в точке M
, а продолжение стороны CD
— в точке N
. Точка O
— центр окружности, проходящей через точки M
, C
и N
. Докажите, что \angle OBC=\angle ODC
.
Указание. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.
Решение. Поскольку AD\parallel BC
, получаем
\angle CMN=\angle DAM=\frac{1}{2}\angle DAB~\Rightarrow~\angle CMN=\angle CNM,
поэтому треугольник CMN
равнобедренный, CM=CN
. Отрезки OC
, ON
и OM
равны как радиусы одной окружности. Значит, равнобедренные треугольники OCM
и OCN
равны по трём сторонам.
В то же время, треугольники OBC
и ODN
равны по двум сторонам и углу между ними, так как ON=OC
как радиусы одной окружности, \angle OND=\angle OCB
как соответственные углы равных равнобедренный треугольников, а DN=BC
, так как
DN=DC+CN=AB+CN=BM+CM=BC.
Следовательно, равны соответственные углы OBC
и ODC
равных треугольников OBC
и ODN
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2020, финальный раунд, часть 3, задача 2, с. 18