18154. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
с равными сторонами AB
и BC
. Точка E
лежит на не содержащей точек A
и B
дуге CD
его описанной окружности. Хорды BE
и CD
пересекаются в точке P
, а хорды AE
и BD
— в точке Q
. Докажите, что PQ\parallel AC
.
Указание. Докажите, что четырёхугольник QPED
вписанный.
Решение. Поскольку AB=BC
, то \angle BEA=\angle CDB
, поэтому
\angle PEQ=\angle BEA=\angle CDB=\angle PDQ.
Значит, QPED
— вписанный четырёхугольник. Тогда
\angle QPD=\angle QED=\angle AED=\angle ACD.
Следовательно, PQ\parallel AC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2021, задача 1, с. 23