1816. Две окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются внешним образом, а также касаются некоторой прямой соответственно в точках A
и B
. На продолжении за точку A
радиуса O_{1}A
меньшей окружности отложен отрезок AK
, равный O_{2}B
. Докажите, что O_{2}K
— биссектриса угла O_{1}O_{2}B
.
Указание. Треугольник KO_{1}O_{2}
— равнобедренный.
Решение. Отрезки O_{1}K
и O_{1}O_{2}
равны, так как каждый из них равен сумме радиусов окружностей. Углы O_{1}KO_{2}
и KO_{2}B
равны, так как O_{1}K\parallel O_{2}B
. Поэтому
\angle O_{1}O_{2}K=\angle O_{1}KO_{2}=\angle KO_{2}B.
Следовательно, O_{2}K
— биссектриса угла O_{1}O_{2}B
.
