18163. Дан равнобедренный треугольник с углами 70^{\circ}
при основании BC
. Точки S
и T
лежат на сторонах AB
и BC
, причём \angle BAT=\angle BSC=10^{\circ}
. Прямые AT
и CS
пересекаются в точке P
. Докажите, что BT=2PT
.
Указание. Применив метод вспомогательной окружности, докажите,что острый угол прямоугольного треугольника SPT
равен 30^{\circ}
.
Решение. Заметим, что
\angle ABC=\angle ACB=70^{\circ}~\Rightarrow~\angle TAC=30^{\circ},~\angle ASC=60^{\circ},
поэтому \angle SPT=90^{\circ}
.
Поскольку два угла треугольников ABT
и BST
соответственно равны, то равны и третьи углы, поэтому равны смежные с ними углы, т. е. \angle ATB=\angle CSB
.
Из точек A
и C
, лежащих по одну сторону от прямой ST
, отрезок ST
виден под одним и тем же углом (10^{\circ}
). Значит, четырёхугольник ASTC
вписанный, поэтому
\angle PST=\angle CST=\angle TAC=30^{\circ}.
Таким образом, в прямоугольном треугольнике SPT
катет PT
лежит против угла 30^{\circ}
. Значит, ST=2PT
, а так как
\angle BST=180^{\circ}-\angle AST=180^{\circ}-80^{\circ}-30^{\circ}=70^{\circ}=\angle SBT,
то треугольник SBT
равнобедренный, ST=BT
. Следовательно,
BT=ST=2PT.
Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2011, задача 4, с. 31