18164. В прямоугольнике ABCD
с центром O
известно, что \angle DAC=60^{\circ}
, биссектриса угла DAC
пересекает прямую DC
в точке S
, прямые OS
и AD
пересекаются в точке L
, а прямые BL
и AC
— в точке M
. Докажите, что SM\parallel CL
.
Указание. Докажите, что S
и M
— точки пересечения медиан равностороннего треугольника ALC
и прямоугольного треугольника BCD
соответственно.
Решение. Поскольку \angle SAC=\angle SCA=30^{\circ}
, то SA=SC
, а так как OA=OC
, то высота LO
треугольника ALC
является его медианой. Значит, этот треугольник равнобедренный, LA=LC
. Его угол LAC
равен 60^{\circ}
, поэтому треугольник ALC
равносторонний, а S
— точка пересечения его медиан. Следовательно, \frac{LS}{SO}=2
.
Поскольку \angle LCD=30^{\circ}=\angle CDB
, прямые LC=DB
параллельны, а так как параллельны прямые DL
и BC
, то четырёхугольник BCLD
— параллелограмм, поэтому точка Q
пересечения его диагоналей — середина CB
.
Медианы BQ
и CO
треугольника BCD
пересекаются в точке M
, поэтому
\frac{CM}{MO}=2=\frac{LS}{SO}.
Следовательно, SM\parallel CL
. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2011, задача 4, с. 34